行列式

1 行列式的定义

det A = | A | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |

$n$ 阶行列式是所有取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积的代数和
行列式和矩阵的表达不同，虽然都可以用一个数表来表示，但行列式代表一种运算，最终结果是一个常数——这点跟定积分一样
行列式只针对方阵

2 计算

完全展开式

| A | = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}

$j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 为列序号 $1, 2, \dots, n$ 的一个排列，如果是偶排列，则前面是正号；奇排列则是负号
$τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})$ 表示逆序数

逆序数

逆序：一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前（左边），这对数就构成 1 个逆序
逆序数：一个排列的逆序的总和
例： $τ (4312) = 3 + 2 + 0 = 5$

简单计算

$2 \times 2$ 行列式：主副对角线元素相乘相减， $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$
$3 \times 3$ 行列式： $(主对角线 + 平行主对角线) - (副对角线 + 平行副对角线)$ $$\begin{vmatrix} a_1 &a_2 &a_3\ b_1 &b_2 &b_3\ c_1 &c_2 &c_3 \end{vmatrix}=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2)-(a_3b_2c_1+a_2b_1c_3+a_1b_3c_2)$$
上三角、下三角、数量阵（单位阵）：主对角线元素之积

性质

交换行列式中的两行或两列，行列式变号
方阵 $A$ 的某行或某列乘以 $k$ 得方阵 $B$ ，则 $| B | = k | A |$
- 和矩阵数乘不一样： $| k A | = k^{n} | A |$
- 若行列式某行或某列元素全为 0，则行列式为 0
某行/列的 $k$ 倍加到另外一行/列，行列式的值不变
- 某两行/列相同或成比例，则行列式为 0
- 可以用该性质尝试将行列式化为上三角或下三角，化为简单运算
同阶方阵有：乘法的行列式=行列式的乘法 $| A B | = | A | \cdot | B |$
转置后行列式不变： $| A^{T} | = | A |$

拆行/列法

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} + k_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} + k_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} + k_{n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & k_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & k_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & k_{n} \end{matrix} |

拆行/列法一次只能拆 1 行/ 1 列

按行/列展开

重要，有了展开定理计算更加灵活

代数余子式

在 $n$ 阶行列式中去掉元素 $a_{i j}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的元素构成的一个 $n - 1$ 阶行列式称作 $a_{i j}$ 的余子式，记作 $M_{i j}$
代数余子式： $A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$

展开定理

$n$ 阶行列式等于它任意一行所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和 $$|A|=a_{k1}A_{k1}+a_{k2}A_{k2}+\cdots+a_{kn}A_{kn}$$
- 以上为按行展开，还可以按列展开
- 可以挑 0 多的行/列进行展开
- 实践中一般要先对行列式进行恒等变形

取代定理

把展开式中的元素换成另一个数字，相当于直接改变原行列式中原位元素的值（指针这一块）$$1\cdot A_{11}+1\cdot A_{12}+\cdots+1\cdot A_{1n}=\begin{vmatrix}
1 &1 &\cdots &1\
a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n}\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\
a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn}
\end{vmatrix}$$

结论：按行/列展开，却用另一行的元素组合，得到的值为0

原因是：这种操作相当于用另一行/列的元素替换所展开的那一行，使得行列式中存在相同的两行/列，其值为 0

3 特殊行列式

范德蒙行列式

| \begin{matrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{1}^{n} & x_{2}^{n} & \dots & x_{n}^{n} \end{matrix} | = (x_{n} - x_{n - 1}) (x_{n} - x_{n - 2}) \dots (x_{n} - x_{1}) \cdot (x_{n - 1} - x_{n - 2}) \dots (x_{2} - x_{1}) = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (x_{i} - x_{j})

特征：行数++，指数++
计算方法：“以大欺小”，右边-左边

副对角线行列式

(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1 n} a_{2 n - 1} \dots a_{n 1}

副对角线元素之积，加上符号
本质上是交换两行/列变成主对角线的上三角、下三角行列式

拉普拉斯展开式

主对角线 $$\begin{vmatrix} A &X\ O &B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A &O\ X &B \end{vmatrix}=|A|\cdot|B|$$
副对角线 $$\begin{vmatrix} O &A\B &X \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} X &A\B &O \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A|\cdot|B|$$ $m, n$ 分别是 $A, B$ 的阶数
- 符号的成因是需要交换两列，把整个矩阵换过去变成主对角线形式

4 其他常见行列式

行/列之和相等

| \begin{matrix} b & a & \dots & a \\ a & b & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a & a & \dots & b \end{matrix} | = [b - (n - 1) a] (b - a)^{n - 1}

或者说行列式中只有 2 种（个）元素——主对角线一种，非主对角线是另一种
一般方法是所有列都加到第一列，再用第一行消掉第一列的其他元素

一点一斜形

| \begin{matrix} a_{1} & 0 & \dots & 0 & b_{1} \\ b_{1} & a_{2} & \dots & 0 & 0 \\ 0 & b_{2} & ⋱ & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & b_{n} & a_{n} \end{matrix} | = a_{1} a_{2} \dots a_{n} + (- 1)^{n + 1} b_{1} b_{2} \dots b_{n}

其实可以按第一行展开

三斜线形

| \begin{matrix} b & a \\ c & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & a \\ c & b \end{matrix} | = {\begin{cases} (n + 1) (\frac{b}{2})^{n}, & b^{2} = 4 a c \\ 按第 1 行展开，逆推, & b^{2} \neq 4 a c \end{cases}

X 形

| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ ⋱ & ↗ \\ a_{n} & b_{n} \\ b_{n + 1} & a_{n + 1} \\ ↗ & ⋱ \\ b_{2 n} & a_{2 n} \end{matrix} | = (a_{1} a_{2 n} - b_{1} b_{2 n}) (a_{2} a_{2 n - 1} - b_{2} b_{2 n - 2}) \dots (a_{n} a_{n + 1} - b_{n} b_{n - 1})

$主对角线首尾相乘 - 副对角线首尾相乘$ ，逐渐内收