传递函数、系统框图

1 微分方程的建立

• n 阶系统微分方程 $$y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_1y'(t)=b_mx^{(m)}(t)+\cdots+b_0x(t)$$
• 书写上，输出 $y(t)$ 和输入 $x(t)$ 导数的阶次从左到右逐渐下降（降序）

1.1 电路模型

• 各元件两端的电压、电流关系（都是关于时间 $t$ 的函数）
  • 电阻 $R$：$u_R=i_{R}R$
  • 电容 $C$：$i_C=C\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{u}_C$
  • 电感 $L$：$u_L=L\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{i}_C$
• 看：数学基础#3 电路

1.2 机械系统运动方程

• 质量要素：$$F=ma=m\dot{v}=m\ddot{x}$$
• 弹性要素：$$\begin{aligned} F&=k(x_1-x_2)=kx\ &=k\int_0^{t_0},(v_1-v_2),{\rm d}t=k\int_0^{t_0},v,{\rm d}t \end{aligned}$$
• 阻尼要素：$$\begin{aligned} F&=f(v_1-v_2)=fv\ &=f(\dot{x_1}-\dot{x_2})=f\dot{x} \end{aligned}$$
• 惯性要素：$$M=J\alpha=J\frac{{\rm d}\Omega}{{\rm d}t}=J\frac{{\rm d}^2\theta}{{\rm d}t^2}$$
• 运动物体摩擦力：$$F_C=F_B+F_f=fv+F_f$$
  • 粘性摩擦力 $F_B=fv$，其中 $f$ 是粘性阻尼系数；恒值摩擦力 $F_f$
• 转动物体摩擦力矩：$$M_C=M_B+M_f=f\omega+M_f$$

1.3 机电系统

• 反电动势 $e=k_e\omega =k_e\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}$ ，其中 $k_e$ 为电机反电动势常数
• 电磁转矩 $M_D=K_{m}i$ ，其中 $K_m$ 为电机转矩系数，$i$ 为电枢电流

2 传递函数

2.1 定义

• 零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 $C(s)$ 与输入量的拉氏变换 $R(s)$ 之比：$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}$
• 用拉氏变换的方法可以方便地将系统微分方程化成传递函数
• ⚠注意：
  • 不同的系统可能有相同的传递函数，故传递函数不能倒推系统结构
  • LTI 系统传递函数是在 s 域描述其运动特征的数学模型，与微分方程一一对应
  • 传递函数只与系统内部结构有关，与输入输出的形式无关
  • 要指出哪个信号是输入，哪个是输出
  • 分子、分母的多项式可以写成 s 的降幂形式，也可以用零极点形式
  • 现实中的系统都是因果系统，分子的阶次小于分母（在微分方程中，输入信号的阶次小于输出）
  • 传递函数不反映系统及元件的物理结构
  • 系统特征方程 $D(s)=0$：令分母多项式=0，该方程的根即特征根，也就是系统的极点

2.2 基本环节

• 比例环节（放大环节）
  • $c(t)=K\cdot r(t)$
  • $G(s)=K$
• 惯性环节
  • $T{c}^{\prime }(t)+c(t)=r(t)$
  • $G(s)=\frac{1}{Ts+1}$
  • 其中，$T$ 称为时间常数
• 积分环节：输入变为 0 后，输出信号将保持输入变为 0 的时刻的输出值（像锁存器）
  • $c(t)=\int r(t)\mathrm{d}t$
  • $G(s)=\frac{1}{s}$
• 振荡环节
  • $T^2{c}^{″}(t)+2\zeta T{c}^{\prime }(t)+c(t)=r(t)$
  • $G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$
  • 其中，$T$ 称为时间常数；${\omega }_n$ 称为无阻尼自振角频率，且 ${\omega }_n=\frac{1}{T}$；$\zeta$ 称为阻尼比，当 $0\le \zeta <1$ 时才是振荡环节
• 纯微分环节
  • $c(t)=r^{\prime }(t)$
  • $G(s)=s$
• 一阶微分环节
  • $c(t)=\tau r^{\prime }(t)+r(t)$
  • $G(s)=\tau s+1$
• 二阶微分环节
  • $c(t)={\tau }^2{r}^{″}(t)+2\zeta \tau r^{\prime }(t)+r(t)$
  • $G(s)={\tau }^2{s}^2+2\zeta \tau s+1$
• 延迟环节
  • $c(t)=r(t-{\tau }_0)$
  • $G(s)=e^{-{\tau }_{0}s}$

3 方框图