数学基础

1 基本复变函数

复数的表示
- 一般形式： $z = α + j β$ ——点、向量
- 极坐标： $z = r (\cos ω + j \sin ω)$ ——三角函数
- 指数： $z = r \cdot e^{j ω}$
模和相角（幅值和相角、幅角）
- 幅值 $r = \sqrt{α^{2} + β^{2}}$
- 相角 $ω$ ，可以取无穷多个值，只有满足 $- π < ω < π$ 的才是主值，表达式随复数所在象限而变：$$\angle(z)=\begin{cases} \arctan\frac{\beta}{\alpha}\quad &\alpha>0,\ \beta\in\mathbb{R}\ \pm\frac \pi 2 &\alpha=0,\ \beta\ne 0\ \arctan\frac{\beta}{\alpha}\pm\frac \pi 2 &\alpha<0,\ \beta\ne 0\ \pi &\alpha<0,\ \beta= 0 \end{cases}$$
欧拉公式
- ${\begin{cases} e^{j ω} & = \cos ω + j \sin ω \\ e^{- j ω} & = \cos ω - j \sin ω \end{cases}$
复数的运算：设 $z_{1} = r_{1} e^{j ω_{1}}, z_{2} = r_{1} e^{j ω_{2}}$
- 乘法： $z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} r_{2} \cdot e^{j (ω_{1} + ω_{2})}$
- 除法： $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{j (ω_{1} - ω_{2})}$
- 乘方： $z^{n} = r^{n} \cdot e^{j ω n} = r^{n} (\cos n ω + j \sin n ω)$
- 开方： $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{j \frac{ω}{n}} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{ω}{n} + j \sin \frac{ω}{n})$

拉氏变换可以将复杂的线性常微分方程求解问题转换成复变量 $s$ 的代数方程求解问题
- 正变换： $F (s) = L [f (t)] = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t$
- 反变换： $f (t) = L^{- 1} [F (s)] = \frac{1}{j 2 π} \int_{c - j \infty}^{c + j \infty} F (s) e^{s t} d s$
- 其中 $e^{- s t}$ 称为拉氏变换的“收敛因子”，在后边的 Z 变换也会经常遇到；逆变换了解一下公式，不会手撕

线性：$$af_1(t)+bf_2(t) \longleftrightarrow aF_1(s)+bF_2(s)$$
时移：$$f(t-\tau_0)1(t-\tau_0) \longleftrightarrow e^{-\tau_0s}F(s)\qquad (\tau_0>0)$$
尺度变换（相似性）：$$f(at) \longleftrightarrow \frac 1 aF(\frac s a)\qquad (a>0)$$
频移：（观察指数函数与单位阶跃函数）$$e^{-at}f(t) \longleftrightarrow F(s+a)$$
时域微分：$$\begin{aligned} f^{(n)}(t)& \longleftrightarrow s^nF(s)-s^{n-1}f(0^-)-s^{n-2}f'(0^-) -\cdots-f^{(n-1)}(0^-)\ f'(t)& \longleftrightarrow sF(s)-f(0^-)\ f''(t)& \longleftrightarrow s^2F(s)-sf(0^-)-f'(0^-)\ f'''(t)& \longleftrightarrow s^3F(s)-s^2f(0^-)-sf'(0^-)-f''(0^-) \end{aligned}$$
时域积分：$$\int_0^t, f(t)\ {\rm d}t \longleftrightarrow \frac 1 sF(s)$$
$s$ 域微分：（时域乘 $- t$ ）$$-tf(t) \longleftrightarrow \frac{{\rm d}}{{\rm d}s}F(s)$$
$s$ 域积分：（时域除 $t$ ）$$\frac 1 t f(t) \longleftrightarrow \int_s^\infty, F(\eta)\ {\rm d}\eta $$
初值定理：$$\lim_{t\to 0^+}f(t)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$$
终值定理：$$\lim_{t\to +\infty}f(t)=\lim_{s\to 0}sF(s)$$
卷积定理：$$f_1(t)*f_2(t) \longleftrightarrow F_1(s)\cdot F_2(s)$$

给定阶跃响应求传函，上面的做法是错误的！

结论：直接用拉氏变换求即可，属于送分题
题目所给的时间响应函数并不是“全响应”，而是零状态响应，除非题目给了 $t = 0^{-}$ 的初始条件
此时要联系《信号与系统》，零状态响应是系统微分方程非齐次方程的解，而零输入响应是齐次方程的解；而求这个非齐次方程的解需要初始状态，因为这个系统是具体的系统，不能存在任意常数
东大应该不会考这么花哨的题目，万一考到了要学会联系高数微分方程那块的知识
求零状态响应初始状态的方法是：对微分方程中每个函数项都从 0-到 0+积分，用牛顿-莱布尼兹公式，注意原函数的积分都是 0，特别注意冲激函数（因为冲激函数在 0 处的积分是 1）