被控过程的建模

被控过程的机理建模

单容自衡过程（单容水箱）

• 单容过程，指只有一个储蓄能量的过程
• 如下图水箱，当输入和输出流量相等时，液位不变，处于平衡状态；当输入阀门突然开大，水流入量阶跃增加，引起液面上升，进而引起水箱内液体静压力增加，流出量也增加，这一趋势会使得流入流出量再次相等，使得液位重新达到一个平衡状态，可见单容水箱是一个自衡过程
  • 
• 数学模型的推导：
  • 设水箱流入量 $q_1$ 为输入变量，液位为 $h$ 输出量，则被控过程的数学模型就是 $q_1$ 和 $h$ 的数学表达式
  • 平衡状态时有 $$q_{10}=q_{20},\quad h=h_0$$
  • 控制阀突然开大一些，液位会逐渐上升，如果流出阀门不变，则随着液位的升高有 $$q_1-q_2=A\frac{dh}{dt},\quad或\ (q_{10}+\Delta q_1)-(q_{20}+\Delta q_2)=A\frac{d(h_0+\Delta h)}{dt}$$
  • 则有 $$\bbox[#f9de9f,6pt]{\large \Delta q_1-\Delta q_2=A\frac{d\Delta h}{dt}}$$
    • 带 $\mathrm{\Delta }$ 的为对应变量的增量，$A$ 为水箱横截面积（${\mathrm{m}}^2$）
    • 这部分对应水箱的物料平衡关系
  • 可将液位与流出量用线性化处理简化：$$\bbox[#f9de9f,6pt]{\large \Delta q_2=\frac{\Delta h}{R_2}}$$
    • $R_2$ 为流出阀门的阻力，称为液阻
    • 这部分对应流出阀门的液位-流量关系
  • 为了求 $\mathrm{\Delta }{q}_1$ 和 $h$ 的关系，需要消去 $\mathrm{\Delta }{q}_2$
  • 代数代换法：
    • 用上面的公式变形一下可得 $$\bbox[#f9de9f,6pt]{\large AR_2\frac{d\Delta h}{dt}+\Delta h=R_2\Delta q_1 }$$
    • 可得传递函数：$$\bbox[#f9de9f,6pt]{ \large W_o(s)=\frac{H(s)}{Q_1(s)}=\frac{R_2}{AR_2s+1}=\frac{K_0}{T_0s+1} }$$
    • 阶跃响应：$\mathrm{\Delta }h(t)=K_0\mathrm{\Delta }{q}_1(1-e^{-\frac{t}{T_0}})$
    • 
      • 图中，$3T_0$ 进入了 $5\mathrm{\%}$ 误差带；$4T_0$ 进入了 $2\mathrm{\%}$ 误差带
      • 初始斜率可以用初值定理求：$\dot{c}(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sC(s)$
  • 方框图法：由微分方程，取拉氏变换后画出方框图，再求传递函数
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• 容量：被控过程存储能力的大小
  • 容量系数：引起单位被控量变化时，被控过程存储量的变化量，水箱的容量系数为其截面积 $A$
  • 液阻 $R_2$ 不但影响被控过程的时间常数 $T_0$ ，而且影响过程的放大系数 $K_0$
  • 容量系数 $A$ 只影响时间常数 $T_0$

带纯滞后单容自衡过程

• 生产中，过程具有纯滞后是很常见的，当被控量的检测点与扰动产生的地点之间有一段物料传输的距离时，就会产生纯滞后
• 假设纯滞后为 ${\tau }_0$ ，则有微分方程和传函：$$\bbox[#f9de9f,6pt]{\large \begin{matrix} T_0\frac{d\Delta h}{dt}+\Delta h=K_0\Delta q_1(t-\tau_0) \ W_o(s)=\frac{H(s)}{Q_1(s)}=\frac{K_0}{T_0s+1}e^{-\tau_0s} \end{matrix} }$$
  • 注意，$\mathrm{\Delta }h$ 和 $\mathrm{\Delta }{q}_1$ 都是 $t$ 的函数

多容自衡过程（双容水箱）

• 由多个容积和阻力构成的被控过程
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• 设输入量为 $q$ ，输出量为液位 $h_2$ ，根据物料平衡关系，有微分方程组：$$\large \begin{cases} \Delta q-\Delta q_1=A_1\frac{d\Delta h_1}{dt} \ \Delta q_1-\Delta q_2=A_2\frac{d\Delta h_2}{dt} \ \Delta q_1=\frac{\Delta h_1}{R_1} \ \Delta q_2=\frac{\Delta h_2}{R_2} \end{cases}$$

• 两边取拉氏变换，消去中间变量，得双容过程的传递函数：$$\bbox[#f9de9f,6pt]{\large \begin{matrix} W_o(s)=\frac{H_2(s)}{Q(s)}=\frac{R_2}{(A_1R_1s+1)(A_2R_2s+1)}=\frac{K_0}{(T_1s+1)(T_2s+1)} \end{matrix} }$$
• 双容过程受到扰动后，要过一段时间后输出变化速率才会达到最大，这种现象称为容量滞后，用 ${\tau }_c$ 表示，可用作图法求：找到阶跃响应曲线的拐点，作拐点的切线，该切线与时间轴的交点就是 ${\tau }_c$

单容无自衡过程

• 将水箱的出口换成定量泵，则其流出量与液位 $h$ 的变化无关
  • 当流入量 $q_1$ 变化时，液位 $h$ 立即变化，由于流出量不变，故水箱液位等速上升直至溢出；或等速下降直至液体被抽干
• 该过程的数学模型为：
  • 微分方程 $$\bbox[#f9de9f,6pt]{\large A\frac{d\Delta h}{dt}=\Delta q_1 }$$
  • 传递函数：$$\bbox[#f9de9f,6pt]{ \large W_0(s)=\frac{1}{T_as} }$$
  • 带纯滞后的传函：$$\bbox[#f9de9f,6pt]{ \large W_0(s)=\frac{1}{T_as}e^{-\tau_0s} }$$

多容无自衡过程

• 同双容水箱，但是将第二个水箱的流出阀门换成定量泵
• 数学模型：
  • 关系式 $$\large \begin{cases} \Delta q-\Delta q_1=A_1\frac{d\Delta h_1}{dt} \ \Delta q_1=A_2\frac{d\Delta h_2}{dt} \ \Delta q_1=\frac{\Delta h_1}{R_1} \end{cases}$$
  • 传递函数 $$\bbox[#f9de9f,6pt]{ \large W_0(s)=\frac{1}{(T_as)(T_1s+1)} }$$
  • 含有纯滞后的传函 $$\bbox[#f9de9f,6pt]{ \large W_0(s)=\frac{1}{(T_as)(T_1s+1)}e^{-\tau_0s} }$$

确定模型参数

无滞后一阶对象的模型参数

• 对应单容自衡过程
  
• 一阶非周期过程比较简单，只需确定放大系数 $K_0$ 和时间常数 $T_0$
  • 放大系数 $$\large K_0=\frac{y(\infty)-y(0)}{\Delta x}$$
    • 其中 $\mathrm{\Delta }x$ 为输入的阶跃变化
  • 时间常数由下式计算 $$\large T_0=0.632K_0\Delta x=0.632\Delta y(\infty)$$
    • 定义上是响应曲线起点的切线与 $\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }y(\mathrm{\infty })$ 的交点在时间轴上的投影（交点的横坐标值）

无滞后积分环节的模型参数

• 对应单容无自衡过程
  
• 模型的结构可用积分环节表示：$$W_o(s)=\frac{1}{T_as}$$
  • $T_a$ 值为直线的斜率

含滞后积分环节的模型参数

• 对应单容无自衡+纯滞后
  
• 若被控过程的阶跃响应曲线开始时，变化速度较慢，一段时间后开始等速上升，如上图所示，则此时过程模型结构可用带纯滞后环节的积分环节表示：$$W_o(s)=\frac{1}{T_as}e^{-\tau s}$$
  • 在曲线变化速度最大处作切线，交时间轴的点对应时间即为滞后时间 $\tau$ ，斜率即为时间常数 $T_a$

含滞后、一阶和积分环节的模型参数

• 对应多容无自衡+纯滞后
  
• 分三段，OA 为纯滞后部分的影响，从 A 点开始才有变化
• 数学模型：$$W_o(s)=\frac{1}{T_as(T_0s+1)}e^{-\tau_0s}$$
  • A 点处对应时间就是纯滞后时间 ${\tau }_0$ ；在曲线变化速度最大处作切线，交时间轴于 B 点，则时间常数 $T_0=B-A$ ，斜率即为 $T_a$
    • 注意时间常数是差值！