1 函数基础性质

基本初等函数

• 幂函数 $x^n$
• 指数函数 $e^x$
• 对数函数 $\ln x$
• 三角函数 $\sin x,\cos x,\tan x$ 、反三角函数 $\arcsin x,\dots$

初等函数

• 常数和五类基本初等函数构成
• 进行的加减乘除以及复合（比如 $\ln (\sin x)$ ）
• 所得到的用一个解析式表达的函数（分段函数不算）

反函数与复合函数（恒等映射）

• 情况一： $f^{-1}[f(x)]=x$
• 情况二： $f[f^{-1}(x)]=x$

奇偶性

• 判别：最经典的方法
  • 常见奇函数

- 常见偶函数

• 运算规则：
  • 奇函数 + 奇函数 = 奇函数
  • 偶函数 + 偶函数 = 偶函数
  • 奇函数 + 偶函数 = 非奇非偶
  • 奇函数 × 奇函数 = 偶函数
  • 偶函数 × 偶函数 = 偶函数
  • 奇函数 × 偶函数 = 奇函数
• 复合函数：
  • 内奇外同，内偶则偶
  • 内函数是奇函数，则复合函数得奇偶性和外函数相同
  • 内函数是偶函数，则复合函数是偶函数
• 导数关系：（反演）
  • 奇函数的导函数——偶函数
  • 偶函数的导函数——奇函数
• 原函数：
  • 连续的奇函数，其原函数都是偶函数
  • 连续的偶函数，其原函数有且只有一个是奇函数（$C=0$）

单调性结论

• 已知某点 $x_0$ 导数的符号（以 $>0$ 为例），则在某邻域内，左边的点都大于该点，右边的点都小于该点，但是不能说有单调性——只给一个点的情况，它周围可能是震荡上升/下降，不符合单调性的定义：设 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime }(x_0)>0$，则 $\mathrm{\exists }\delta >0$，当 $x\in (x_0-\delta ,x_0),f(x)<f(x_0)$；当 $x\in (x_0,x_0+\delta ),f(x)>f(x_0)$

周期性

判定

1. 用定义
2. 可导的周期函数，其导数为周期函数
3. 周期函数的原函数不一定是周期函数（比如 $\cos x+1$ 是周期函数，它的一个原函数 $\sin x+x$ 就不是周期函数）

三角函数

• $\sin x,\cos x$ 周期为 $2\pi$
• $\sin 2x,|\sin x|$ 周期为 $\pi$

抽象函数

若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $f(ax+b)$ 将以 $\frac{T}{|a|}$ 为周期（尺度变换）